如图，已知AB为⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=8，求CD的长度．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，求CD的长度．

Answer 1

（1）证明：连接OC，BC，如图所示；

∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=8，
∴BC=(1)/(2)AB=4，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=4，
∴CD=BCcos30°=4×(√(3))/(2)=2√(3)．