如图，AD是△ABC的角平分线，AD=AC，BE⊥AD于E（1）求证：AB-AC=2DE；（2）求证：AB+AC=2AE．

Question

如图，AD是△ABC的角平分线，AD=AC，BE⊥AD于E

（1）求证：AB-AC=2DE；
（2）求证：AB+AC=2AE．

Answer 1

证明：（1）延长AE至点F使得DE=EF，

∵DE=EF，BE⊥DE，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC=∠BDC，
∴∠F=∠BDF=∠ADC=∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∠BAD+∠F+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠C=∠F，
∴AB=AF，
∴AB-AC=AF-AD=DF=2DE；
（2）∵AE=AD+DE，AE=AF-EF，DE=EF，
∴2AE=AD+DE+AF-EF=AD+AF，
∵AF=AB，AC=AD，
∴2AE=AC+AB．