（2014•丰南区二模）已知直线y=4-x与x轴、y轴分别相交于C、D两点，有反比例函数y=mx（m＞0，x＞0）的图象与之在同一坐标系．（1）若直线y=4-x与反比例函数图象相切，求m的值；（2）如图1，

Question

（2014•丰南区二模）已知直线y=4-x与x轴、y轴分别相交于C、D两点，有反比例函数y=(m)/(x)（m＞0，x＞0）的图象与之在同一坐标系．

（1）若直线y=4-x与反比例函数图象相切，求m的值；
（2）如图1，若两图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x＜(m)/(x)的解集；
（3）在（2）的情况下，过点A向y轴作垂线AM，垂足为M，如图2，有一动点P从原点O出发沿O→B→A→M（BA段为曲线）的路线运动，点P的横坐标为a，由点p分别向x、y轴作垂线，垂足为E、F，四边形OEPF的面积为S，求S关于a的函数关系式．

Answer 1

（1）若直线y=4-x与反比例函数y=(m)/(x)的图象相切，
则方程4-x=(m)/(x)即方程x²-4x+m=0有两个相等的实数根，
则（-4）²-4×1×m=0．
∴m=4．
（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点B作BG⊥x轴，垂足为G，如图1，
∵点A在直线y=4-x上，且x_A=1，
∴y_A=4-1=3．
∴点A的坐标为（1，3）．
∴x_H=1．
∵点A（1，3）在反比例函数y=(m)/(x)图象上，
∴m=1×3=3．
∴反比例函数的解析式为y=(3)/(x)．
联立

y＝4−x

y＝(3)/(x)

，
解得：

x＝1

y＝3

或

x＝3

y＝1

．
∴点B的坐标为（3，1）．
∴x_G=3．
设y₁=4-x，y₂=(m)/(x)（m＞0，x＞0），
结合图象可得：
当0＜x＜1或x＞3时，y₁＜y₂，即4-x＜

作业帮用户 2017-11-08

问题解析

（1）若直线y=4-x与反比例函数y=(m)/(x)（m＞0，x＞0）的图象相切，则方程4-x=(m)/(x)即x²-4x+m=0有两个相等的实数根，则根的判别式等于0，从而可以求出m的值．
（2）由条件可依次求出点A的坐标、反比例函数的解析式、点B的坐标；设y₁=4-x，y₂=(m)/(x)，可将“求关于x的不等式4-x＜(m)/(x)的解集”转化为“求函数y₁的函数值小于函数y₂的函数值时对应的自变量x的取值范围”，只需结合图象就可解决问题．
（3）设点P的坐标为（a，b），易证四边形OEPF是矩形，从而得到S=S_矩形OEPF=OE•OF=ab．然后对点P分别在线段OB、双曲线上BA段、线段AM三个位置进行讨论，即可求出对应的S关于a的函数关系式．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质．

考点点评：

本题考查了双曲线与直线的交点问题，考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、矩形的判定与性质、根的判别式等知识，考查了数形结合以及分类讨论的思想，是一道好题．

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