已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1．证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=1-ξ；（Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f′（η）f′（ζ）

Question

已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1．证明：
（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）=1-ξ；
（Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f′（η）f′（ζ）=1．

Answer 1

证明：（ I） 令F（x）=f（x）-1+x，则F（x）在[0，1]上连续，且F（0）=-1<0，F（1）=1>0，
于是由零点定理知，存在ξ∈（0，1）使得F（ξ）=0，即
f（ξ）=1-ξ．
（ II）函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导
∴f（x）满足拉格朗日中值定理
 在[0，ξ]和[ξ，1]上对f（x）分别应用拉格朗日中值定理，故存在两个不同的点η∈（0，ξ），ζ∈（ξ，1），使得
f′(η)=(f(ξ)-f(0))/(ξ-0)，f′(ζ)=(f(1)-f(ξ))/(1-ξ)，
又f（0）=0，f（1）=1，f（ξ）=1-ξ
于是
f′(η)f′(ζ)=(f(ξ))/(ξ)•(1-f(ξ))/(1-ξ)=(1-ξ)/(ξ)•(ξ)/(1-ξ)=1