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证明:函数f(x)=x/（1+x^2）在区间[1,+无穷)上是减函数
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证明:函数f(x)=x/（1+x^2）在区间[1,+无穷)上是减函数
▼优质解答
答案和解析
我给你一个最正统的解法吧!
设x1>x2≥1,
则 f(x1)=x1/(1+x1²),f(x2)=x2/(1+x2²),
f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
因为x1>x2≥1,1+x1²>0,1+x2²>0
故x1-x2>0,x1x2>1
即f(x1)-f(x2)
设x1>x2≥1,
则 f(x1)=x1/(1+x1²),f(x2)=x2/(1+x2²),
f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]
因为x1>x2≥1,1+x1²>0,1+x2²>0
故x1-x2>0,x1x2>1
即f(x1)-f(x2)
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