1+2^x+2^(2x+1)=y^2的整数解请问如何做?这是剑桥大学的面试题

Question

1+2^x+2^(2x+1)=y^2 的整数解 请问如何做?
这是剑桥大学的面试题

Answer 1

答：
1+2^x+2^(2x+1)=y^2
y^2-1=2*(2^x)^2+2^x
(y-1)(y+1)=(2*2^x+1)*2^x>0
y是整数：
y-1因为：
y-1和y+1同时是奇数或者同是偶数
2*2^x+1是奇函数,2^x是偶数
所以：
y-1=2^x,y=2^x+1
y+1=2*2^x+1,y=2^(x+1)
显然,x=0,y=2符合要求
显然,x=0,y=-2也符合要求