求：三重积分V(x2+y2+z2)dxdydz,其中V表示上半单位球x2+y2+z2=0.好像要用柱坐标?什么适合用柱坐标?

Question

求：三重积分_V (x2+y2+z2)dxdydz,其中V表示上半单位球x2+y2+z2=0.
好像要用柱坐标?什么适合用柱坐标?

Answer 1

用球坐标换元.
x = r * sin u * cos v,y = r * sin u * sin v,z = r * cos u.
雅克比为：r * (sin u)^2
上半单位球,r ∈ [0, 1],u ∈ [0, π/2],v ∈ [0, 2π].
原三重积分 = ∫ ∫ ∫ r^2 * r * (sin u)^2 dr du dv = ∫ [0, 2π] dv ∫ [0, 2π] (sin u)^2 du ∫ [0, 1] r ^3 dr
= 2π * π * 1/4
= π^2 / 2.
凡是积分区域为球面的题目适合用球面坐标换元. 二重积分,积分区域为圆的适合极标换元.
望及时采纳~~