f(a)=f(b)=0,f(m)为最大值,证明|f‘’(ξ)|>=8|f(m)|/(b-a)^2,

Question

f(a)=f(b)=0,f(m)为最大值,证明|f‘’(ξ)|>=8|f(m)|/(b-a)^2 ,

Answer 1

不妨设m位于区间内部（否则f(x)是零函数,结论自然成立）.
由于m是极值点,则f'(m)=0,于是由Taylor展式有：
1、若m位于（a,(a+b)/2】,则
0=f(a)=f(m)+f'(m)(a---m)+f''(c)*(a--m)^2/2,
移项取绝对值有
|f(m)|=|f''(c)(a--m)^2/2|