已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．

Question

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．

Answer 1

设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β，
则方程x²+cx+a=0的两根为α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，
两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴

α+2=1

β+2=3

或

α+2=-3

β+2=-1.

解得

α=-1

β=1

或

α=-5

β=-3.

又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，
c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3，或29．