如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A⇒D⇒C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A⇒B⇒C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．（1）

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A⇒D⇒C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A⇒B⇒C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．

（1）求梯形ABCD的面积；
（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm²），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的(2)/(5)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得(AD+DC)/(3)=(AB+BE+EC)/(4)，
∴(AD+25)/(3)=(20+AD+15)/(4)．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面积=((AD+BC)×AB)/(2)=((5+20)×20)/(2)=250（cm²）．
（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤(5)/(3)时，P在AD上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②当(5)/(3)＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．
（3）①当0＜t≤(5)/(3)时，由S=70t=250×(2)/(5)，解得t=(10)/(7)．
②当(5)/(3)＜t≤5时，由S=34t+60=250×(2)/(5)，解得t=(20)/(17)．
又∵(5)/(3)＜t≤5，
∴t=(20)/(17)不合题意，舍去．
③当5＜t＜10时，由S=-46t+460=250×(2)/(5)，
解得t=(180)/(23)．
∴当t=(10)/(7)或t=(180)/(23)时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的(2)/(5)．