设函数f（x）=asin2x-bsin2x+c（x∈R）的图象过点P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值为-2，其中a＞0．（1）求f（x）表达式；（2）若射线y=2（x≥0）与f（x）图象交点的横坐标，由小到大依

Question

设函数f（x）=asin2x-bsin²x+c（x∈R）的图象过点P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值为-2，其中a＞0．
（1）求f（x）表达式；
（2）若射线y=2（x≥0）与f（x）图象交点的横坐标，由小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，x_n，…求|x_n+2-x₂|的值，并求S=x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

（1）∵f（0）=1，∴c=1，
∴f(x)＝asin2x−(b)/(2)(1−cos2x)+1=√(a2+(1)/(4)b2)sin(2x+ϕ)+1−(b)/(2)，
∴

√(a2+(1)/(4)b2)+1−(b)/(2)＝2

−√(a2+(1)/(4)b2)+1−(b)/(2)＝−2

而a＞0，解得

a＝√(3)

b＝2

，
∴f(x)＝√(3)sin2x+cos2x＝2sin(2x+(π)/(6))；
（2）由题意，知f（x_n）=2（n∈N₊），即2xn+(π)/(6)＝2kπ+(π)/(2)(k≥0，k∈Z)，
∴xn＝kπ+(π)/(6)(k＝0，1，2…)，所以{x_n}是以x1＝(π)/(6)，公差d=π的等差数列，
∴|x_n+2-x₂|=nπ，S＝x1+x2+…+x10＝(x1+x10)/(2)•10＝5((π)/(6)+9π+(π)/(6))＝(140)/(3)π．