已知f(a+2b3)=f(a)+2f(b)3，f（1）=1，f（4）=7，则f（2016）=（）A.4028B.4029C.4030D.4031

Question

已知f(

(a+2b)/(3))=(f(a)+2f(b))/(3)，f（1）=1，f（4）=7，则f（2016）=（　　）

A. 4028

B. 4029

C. 4030

D. 4031

Answer 1

∵函数f（x）满足对任意实数a，b，有知f((a+2b)/(3))=(f(a)+2f(b))/(3)，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=(f(4)+2f(1))/(3)=3，
令a=1，b=4，得f（3）=(f(1)+2f(4))/(3)=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．①
证明：当n=1，2，3，4时①成立．
假设n≤k（k>4且k为整数），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=(f(k-2)+2f(k+1))/(3)，
∴f（k+1）=(1)/(2)[f（k）-f（k-2）]=(1)/(2)[3（2k-1）-2（k-2）+1]=2（k+1）-1，
即对n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴对任意正整数n，f（n）=2n-1（n∈N^*）都成立．
∴f（2016）=2×2016-1=4031．
故选：D．