若f(x)在区间[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]内必有原函数吗?为什么

Question

若f(x)在区间[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]内必有原函数吗?为什么

Answer 1

如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数.
若f(x)连续,则在[a,b]上必有原函数
但是例如f(x)=sign(x)
它在[-1,1]上可积,在[-1,x]上的积分等于|x|-1,但是|x|-1并不是它的原函数,以为它在0点不可导