一个“吃货”用图示装置做“糖炒栗子”的“萌”事儿如下：将栗子在地面小平台上以一定的初速度经Q点射入两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用栗子在锅

Question

一个“吃货”用图示装置做“糖炒栗子”的“萌”事儿如下：将栗子在地面小平台上以一定的初速度经Q点射入两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用栗子在锅内的来回运动使其均匀受热．设大小两个四分之一圆弧半径为2R和R，小平台和圆弧轨道均光滑．将锅的底部看作一段光滑圆弧，锅底之上的部分看作两个斜面AB、CD，斜面跟栗子之间的动摩擦因数均为0.25，而且不随温度变化．两斜面倾角均为θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，栗子碰撞它不损失机械能．栗子的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，栗子的质量为m，重力加速度为g．
（1）如果栗子恰好经P点飞出，恰好沿AB斜面进入锅内，那么斜面的A、D点离地面的高度为多少？
（2）接（1）问，栗子在锅内斜面上运动的总路程是多少？
（3）对不同初速度的栗子，求其通过最低点Q和最高点P所受压力之差的最小值．

Answer 1

（1）在P点 mg＝m(v2p)/(2R)，
解得：vp＝√(2gR)．
到达A点时速度方向要沿着AB，有：vy＝vptanθ＝(3)/(4)√(2gR)．
所以AD离地高度为：h＝3R −(v2y)/(2g)=(39)/(16)R．
（2）进入A点滑块的速度为：v＝(vp)/(cosθ)＝(5)/(4)√(2gR)，
假设经过一个来回能够回到A点，设回来时动能为E_k，有：
Ek＝(1)/(2)mv2−4μmgcosθ•8R＜0，
所以滑块不会滑到A而飞出．    
根据动能定理得：mg•2Rsinθ−μmgcosθ•s＝0−(1)/(2)mv2，
代入数据解得：1.2mgR-0.2mgs=-(25)/(16)mgR
解得滑块在锅内斜面上走过得总路程：s＝(221R)/(16)．
（3）设初速度、最高点速度分别为v₁、v₂，由牛二定律，在Q点有：F−mg＝m(v21)/(R)，
解得：F＝mg+m(v21)/(R)
在P点有：F2+mg＝m(v22)/(2R)．
解得：F2＝m(v22)/(2R)−mg
所以有：F 1−F2＝2mg+(m(2v21−2v22+v22))/(2R)．
由机械能守恒得：(1)/(2)

mv

2 1

＝(1)/(2)

mv

2 2

+mg•3R，
得

v

2 1

−v

2 2

=6gR为定值．
代入v₂的最小值√(2gR)，得压力差的最小值为9mg．
答：（1）应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为(39)/(16)R；
（2）滑块在锅内斜面上走过的总路程为(221R)/(16)．
（3）通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值为9mg．