已知关于x的方程4x2-8nx-3n=2和x2-（n+3）x-2n2+2=0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由

Question

已知关于x的方程4x²-8nx-3n=2和x²-（n+3）x-2n²+2=0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由△₁=（-8n）²-4×4×（-3n-2）=（8n+3）²+23＞0，知n为任意实数时，方程（1）都有实数根．
设第一个方程的两根为α、β．则α+β=2n，αβ=(−3n−2)/(4)．
于是，（α-β）²=（α+β）²-4αβ，
=4n²+3n+2；
由第二个方程得
[x-（2n+2）][x+（n-1）]=0，
解得两根为x₁=2n+2，x₂=-n+1；
若x₁为整数，则4n²+3n+2=2n+2．
于是n₁=0，n₂=-(1)/(4)．
当n=0时，x₁=2是整数；
n=-(1)/(4)时，x=(3)/(2)不是整数，舍去．
若x₂为整数，则4n²+3n+2=1-n．
有n₃=n₄=-(1)/(2)．此时x₂=(3)/(2)不是整数，舍去．
综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．