一边长为L的正方形闭合金属导线框，其质量为m，回路电阻为R，图中M、N、P为磁场区域的边界，且均为水平，上下两部分磁场的磁感应强度均为B，方向如图所示．图示位置线框的底边与M重

Question

一边长为L的正方形闭合金属导线框，其质量为m，回路电阻为R，图中M、N、P为磁场区域的边界，且均为水平，上下两部分磁场的磁感应强度均为B，方向如图所示． 图示位置线框的底边与M重合．现让线框由图示位置由静止开始下落，线框在穿过N和P两界面的过程中均为匀速运动．若已知M、N之间的高度差为h₁，h₁＞L，线框下落过程中线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，重力加速度为g．求：
（1）N与P之间的高度差h₂；
（2）在整个运动过程中，线框中产生的焦耳热．

Answer 1

（1）在穿过N的过程中，线框中产生的电动势：
E=2BLv₁
线框中产生的电流：
I＝(E)/(R)＝(2BLv1)/(R)
线框受到的安培力：
F=2BIL= (4B2L2v1)/(R)
由平衡得：
mg＝(4B2L2v1)/(R)
v1＝(mgR)/(4B2L2)
同理线框穿过P过程中的运动速度：
v2＝(mgR)/(B2L2)
由机械能守恒定律得：
mg(h2−L)＝(1)/(2)mv22−(1)/(2)mv12
h2＝L+(v22−v12)•(1)/(2g)
解得：
h2＝L+(15m2gR2)/(32B4L4)；
（2）由能量守恒，可得穿过M时产生的电热：
Q1＝mgh1−(1)/(2)mv12=mgh1−(m3g2R2)/(32B4L4)
穿过N和P时产生的电热都为：Q₂=mgL
共产生热量：
Q=Q₁+Q₂=2mgL+mgh1−(m3g2R2)/(32B4L4)
答：
（1）N与P之间的高度差h2＝L+(15m2gR2)/(32B4L4)
（2）在整个运动过程中，线框中产生的焦耳热Q＝2mgL+mgh1−(m3g2R2)/(32B4L4)．