如图1所示，在x轴上方有垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1=B0，在x轴下方有交替分布的匀强电场和匀强磁场，匀强电场平行于y轴，匀强磁场B2=2B0垂直于xoy平面，图象如图2所示．一

Question

如图1所示，在x轴上方有垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B₁=B₀，在x轴下方有交替分布的匀强电场和匀强磁场，匀强电场平行于y轴，匀强磁场B₂=2B₀垂直于xoy平面，图象如图2所示．一质量为m，电量为-q的粒子在t=(2)/(3)t₀时刻沿着与y轴正方向成60°角方向从A点射入磁场，t=2t₀时第一次到达x轴，并且速度垂直于x轴经过C点，C与原点O的距离为3L．第二次到达x轴时经过x轴上的D点，D与原点O的距离为4L．（不计粒子重力，电场和磁场互不影响，结果用B₀、m、q、L表示．）

（1）求此粒子从A点射出时的速度υ₀．
（2）求电场强度E₀的大小和方向．
（3）粒子在t=9t₀时到达M点，求M点坐标．

Answer 1

（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R₁，
由牛顿第二定律得：qv0B1=m(v20)/(R1)…①
根据题意由几何关系可得：3L=R1+(1)/(2)R1…②
联立①②得：v0=(2qB0L)/(m)…③
（2）粒子在第一象限磁场中运动的周期设为T₁，可得：
T1=(2πm)/(qB0)…④
粒子在第四象限磁场中运动的周期设为T₂，可得：
T2=(2πm)/(qB2)…⑤
根据题意由几何关系可得：(1)/(3)T₁=(4)/(3)t0  …⑥
由④⑤⑥可得：
T₁=4t₀…⑦
T₂=2t₀…⑧
综上可以判断3t₀-4 t₀粒子在第四象限的磁场中刚好运动半个周期，半径为：
R2=(L)/(2)…⑨
由牛顿第二定律得：qv2B2=m(v22)/(R2)…⑩
2 t₀-3 t₀，粒子做匀减速直线运动，
qE=ma                  
v₂=v₁-at
综上解得：E=(qB20L)/(2πm)
（3）由题意知，粒子在8 t₀时刚在第四象限做完半个圆周运动，半径R₃=(1)/(2)R1=L，9t₀在第一象限转(1)/(4)圆周，根据几何关系知：
x=12L
y=2L                    
联立可得M点的坐标为（12L，2L）                    
答：（1）粒子从A点射出时的速度得v0=(2qB0L)/(m)；
 （2）电场强度大小为(qB20L)/(2πm)，方向为平行于y轴向下．
（3）粒子在t=9t₀时到达M点，M点的坐标为（12L，2L）