如图所示，位于竖直平面内的矩形平面单匝导线框abcd，其下方有一匀强磁场区域，该区域的上边界PP′水平，并与线框的ab边平行，磁场方向与线框平面垂直．已知磁场的磁感应强度为B

Question

如图所示，位于竖直平面内的矩形平面单匝导线框abcd，其下方有一匀强磁场区域，该区域的上边界PP′水平，并与线框的ab边平行，磁场方向与线框平面垂直．已知磁场的磁感应强度为B，线框ab边长为L ₁ ，ad边长为L ₂ ，线框质量为m．令线框的dc边从离磁场区域边界PP′的高度为h处由静止开始下落，线框刚好匀速进入磁场区域．
（1）求线框的电阻R．
（2）求线框在进入磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量q．
（3）若将线框从dc边离磁场区域边界PP′的高度为H处由静止开始下落，当线框的一半进入磁场时，线框刚好开始匀速下落，求线框进入磁场过程中，安培力做的总功W．

Answer 1

（1）设线框进入磁场时的速度为v，从线框开始下落到dc进入磁场的过程中，线框机械能守恒．即
   mgh= (1)/(2) m v 2
线框进入磁场过程中，回路电动势为 E=BL ₁ v 
线框进入磁场过程中，通过线框的电流为 I= (E)/(R)      
由于线框匀速进入磁场区域，所以线框受力平衡，即：mg=BIL ₁
由以上各式并代入数值可得：R= (B2L212gh)/(mg)
（2）线框进入磁场所用时间为：t= (L2)/(v)
流经线框导线横截面的电量为：q=It
由以上各式并代入数值可得：q= (L2 m)/(B L1)

(g)/(2h)

（3）线框匀速下落的速度与（1）中的下落速度相同，即v=

2gh

从线框开始下落到线框全部进入磁场过程中，根据动能定理得
   mg（H+L ₂ ）+W= (1)/(2) m v 2
解得：W=-mg（H-h+L ₂ ）
答：
（1）线框的电阻R是 (B2L212gh)/(mg) ．
（2）线框在进入磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量q为 (L2 m)/(B L1)

(g)/(2h)

．
（3）线框进入磁场过程中，安培力做的总功W是-mg（H-h+L ₂ ）．