如图，半径R=0.3m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止

Question

如图，半径R=0.3m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止放置一处于锁定状态的木板，木板质量M=0.3kg，上表面与C点等高，木板中央放置了一个静止的质量m=0.1kg的物块．质量为m₀=0.1kg的物块从平台上A点以v₀=2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知两物块与木板间的动摩擦因数均为μ=0.1，两物块体积很小，都可视为质点，取g=10m/s²，求：

（1）物体到达B点时的速度大小v_B；
（2）物块经过C点时与轨道间弹力的大小；
（3）质量为m₀的物块滑到木板中央与m发生碰撞并粘到一起，此时木板解除锁定，则木板长度满足什么条件，才能保证物块不滑离木板．

Answer 1

（1）设物体经过B点的速度为v_B，则由平抛规律可得：
v_Bsin30°=v₀…①
解得：v_B=4m/s …②
（2）设物体经过C点的速度为v_C，由机械能守恒得：
(1)/(2)m0

v

2 B

+m0gR(1+sin30°)=(1)/(2)m0v

2

C

 …③
根据牛顿第二定律得：
 FN-m0g=(m0v2C)/(R)…④
解得：FN=(28)/(3)N≈9.33N…⑤
（3）设两物块碰撞前，m₀的速度为v₁，粘在一起的速度为v₂，物块m₀在于碰撞前，由动能定理得：
-μm0g(L)/(2)=(1)/(2)m0

v

2 1

-(1)/(2)m0

v

2 C

…⑥
发生碰撞时，由动量守恒定律有：m₀v₁=（m₀+m）v₂…⑦
两物块与模板相对滑动至共速v₃，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
（m₀+m）v₂=（m₀+m+M）v₃…⑧
由能量守恒得：μ(m0+m)g(L)/(2)=(1)/(2)(m0+m)v

2

2

-(1)/(2)(m0+m+M)

v

2 3

…⑨
联立解得：L=(75)/(23)m≈3.26m
所以木板长度大于等于3.26m时才能保证物块不滑离木板．
答：（1）物体到达B点时的速度大小v_B是4m/s．
（2）物块经过C点时与轨道间弹力的大小是9.33N．
（3）木板长度大于等于3.26m时才能保证物块不滑离木板．