某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分成三个年龄组:第一组,0---5岁;第二组,6---10岁;第三组11-15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率

Question

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分成三个年龄组:第一组,0---5岁;第二组,6---10岁;第三组11-15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25.假设农场现有三个年龄段的动物各有100头,问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头?

Answer 1

问题分析和数学模型
由题设,在初始时刻0~5岁、6~10岁、11~15岁的三个年龄段动物数量分别为:
x1(0)=1000,x2(0)=1000,x3(0)=1000
以五年为一个年龄段,则某一个时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量
X=[ X1 X2 X3 ]T
表示.以五年为一个时间段,记
X(k)=[ x1(k) x2(k) x3(k) ]T
为第k个时间段动物数分布向量.当k=0,1,2,3时,X(k)分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量.根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力,在第k个时间段,第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代.由此得第一个年龄组在第k+1个时间段的数量如下
x1(k+1) =4x2(k) +3x3(k)
同理,根据第一年龄组和第二年龄组的存活率,可得等式
x2(k+1)=0.5x1(k)
x3(k+1)=0.25 x2(k)
建立数学模型如下
{k= 0 ,1 ,2 ,3} (1)
也写成矩阵形式
(k=0 ,1 ,2 ,3 ) (2)
由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式
X(k+1) =L X (k)
其中,矩阵
L=
由上式可得 X(k+1) =L k+1 X (0)
我们可以根据数学模型计算将数据结果填写在下表中:
k
(现在)
k=1(五年后)
k=2(十年后)
k=3(十五年后)
k=4(二十年后)
X1
1000
7000
2750
14375
8125
X2
1000
500
3500
1375
7187.5
X3
1000
250
125
875
343.8
从表中数据变化(如果没有其它的原因).可估计农场的动物总数量会逐步增加.
那么15年后各种动物各有14375,1375,875头