设矩阵A=11−1−1111−11，矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X．

Question

设矩阵A=

1	1	−1
−1	1	1
1	−1	1

，矩阵X满足A^*X=A^-1+2X，其中A^*是A的伴随矩阵，求矩阵X．

Answer 1

由：A^*X=A^-1+2X，得：AA^*X=AA^-1+2AX，
又：AA^*=|A|E，
于是：|A|X=E+2AX
从而有：（|A|E-2A）X=E，
则：X=（|A|E-2A）^-1，
由矩阵A=

1	1	−1
−1	1	1
1	−1	1

得：|A|=4，
于是：|A|E−2A＝2

1	−1	1
1	1	−1
−1	1	1

，
∴X=（|A|E-2A）^-1=(1)/(2)

1	−1	1
1	1	−1
−1	1	1

−1=(1)/(4)

作业帮用户 2016-11-28

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问题解析

由于矩阵方程A^*X=A^-1+2X中含有A^*和A^-1，因此想到利用伴随矩阵的性质AA^*=A^*A=|A|E，A^*=|A|A^-1化简矩阵方程．

名师点评

本题考点：

解矩阵方程；伴随矩阵的性质．

考点点评：

对于从矩阵方程中求解未知矩阵，一般要先将矩阵方程化简．还要注意（|A|E-2A）X，括号中的E不能少，因为只有矩阵才能与矩阵相减．

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