已知函数f（√x＋1）＝x＋2√x,求函数f（x）的解析式.答f（x）的解析式为:f（x）＝x×x－1（x＞＝1）,函数得取值范围不明白为甚是这个

Question

已知函数f（√x＋1）＝x＋2√x,求函数f（x）的解析式.答f（x）的解析式为:f（x）＝x×x－1（x＞＝1）,函数得取值范围不明白为甚是这个

Answer 1

f(√x＋1) = x＋2√x = (√x+1)² - 1
定义域x≥0
用x替换√x+1
f(x) = x²-1,定义域x≥1
最小值f(x)min=f(1)=0,值域【0,+∞）
上边这种方法比较便捷.也可以用按部就班的啰嗦一点的办法：
令t=√x+1
∵x∈【0,+∞）
∴√x∈【0,+∞）
∴√x+1∈【1,+∞）
即：t∈【1,+∞）
t=√x+1
√x=t-1
x=(t-1)²
将√x=t-1、x=(t-1)²代入f(√x＋1) = x＋2√x
f(t) = (t-1)²+2(t-1)=t²-1
将t再换成x就是：
f(x)=x²-1,x∈【1,+∞）