如图所示，两个半径均为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不拴接，小

Question

如图所示，两个半径均为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O₁O₂水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不拴接，小球的直径略小于管的内径），长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R．开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．已知重力加速度为g．
（1）若小球经C点时所受的弹力大小为(3)/(2)mg，求弹簧弹性势能的大小E_P．
（2）若换用质量为m₁的小球用锁定弹簧发射（弹簧势能不变），问小球质量m₁满足什么条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．

Answer 1

（1）在C点，以小球为研究对象，则有
mg+(3)/(2)mg=m(vC2)/(R)
对整个过程，根据能量守恒定律得
E_p=2mgR+(1)/(2)mvC2
联立解得 E_p=(13)/(4)mgR
（2）小球离开C点后做平抛运动，
竖直方向：2R=(1)/(2)gt2，
水平方向：x₁=v₁t，
若要小球击中薄板，应满足：R≤x₁≤2R，
解得：(1)/(2)√(gR)≤v1≤√(gR)
从A到C的过程中，根据能量守恒定律得：
EP=2m1gR+(1)/(2)m1v12
解得：(13)/(10)m≤m1≤(26)/(17)m
答：（1）若小球经C点时所受的弹力大小为(3)/(2)mg，弹簧弹性势能的大小E_P为(13)/(4)mgR；
（2）小球质量m₁满足(13)/(10)m≤m1≤(26)/(17)m条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．