设二次型f（x1，x2，x3）=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于100010000．（Ⅰ）求常数a；（Ⅱ）用正交变换法化二次型f（x1，x2，x3）为标准形．

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=5x₁²+ax₂²+3x₃²-2x₁x₂+6x₁x₃-6x₂x₃的矩阵合同于

1  0  0

0  1  0

0  0  0

．
（Ⅰ）求常数a；
（Ⅱ）用正交变换法化二次型f（x₁，x₂，x₃）为标准形．

Answer 1

（Ⅰ）令A=

5	−1	3
−1	a	−3
3	−3	3

，X=

x1

x2

x3

，则f（x₁，x₂，x₃）=X^TAX．
因为A与

1	0	0
0	1	0
0	0	0

合同，所以r（A）=2＜3，故

.

A

.

=0．
由

.

A

.

＝

.

5	−1	3
−1	a	−3
3	−3	3

.

＝3(2a−10)＝0得a=5，A=

5	−1	3
−1	5	−3
3	−3	3

．
（Ⅱ） 由

.

λE−A

.

＝

.

λ−5	1	−3
1	λ−5	3
−3	3	λ−3

.

＝λ(λ−4)(λ−9)＝0得λ₁=0，λ₂=4，λ₃=9．
由（0E-A）X=0得ξ1＝

−1

1

2

；
由（4E-A）X=0得ξ2＝

1

1

0

；
由（9E-A）X=0得ξ3＝

1

−1

1

；
单位化得γ1＝(1)/(√(6))

−1

1

2

，γ2＝(1)/(√(2))

1

1

0

，γ3＝(1)/(√(3))

1

−1

1

．
令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=

−(1)/(√(6))	(1)/(√(2))	(1)/(√(3))
(1)/(√(6))	(1)/(√(2))	−(1)/(√(3))
(2)/(√(6))	0	(1)/(√(3))

，Q^TAQ=

0
	4
		9

．
则f（x₁，x₂，x₃）=X^TAX═Y^T（Q^TAQ）Y=4y 22+9y 32．