设二次型f（x1，x2，x3）=ax12+ax22+（a-1）x32+2x1x3-2x2x3，①求二次型f的矩阵的所有特征值．②若二次型f（x1，x2，x3）的规范型为y12+y22，求a的值．

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=ax₁²+ax₂²+（a-1）x₃²+2x₁x₃-2x₂x₃，
①求二次型f的矩阵的所有特征值．
②若二次型f（x₁，x₂，x₃）的规范型为y₁²+y₂²，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ） 
二次型f的矩阵：A＝

a	0	1
0	a	−1
1	−1	a−1

，
则A的特征多项式为：

.

λE−A

.

=

.

λ−a	0	−1
0	λ−a	1
−1	1	λ−a+1

.

=（λ-a）

.

λ−a	1
1	λ−a−+1

.

-

.

0	λ−a
−1	1

.

＝(λ−a)[(λ−a)(λ−a+1)−1]−[0+(λ−a)]

＝(λ−a)[(λ−a)(λ−a+1)−2]

＝(λ−a)[λ2−2aλ+λ+a2−a−2]

＝(λ−a){[aλ+(1)/(2)(1−2a)]2−(9)/(4)}

＝(λ−a)(λ−a+2)(λ−a−1)

∴求得：λ₁=a，λ₂=a-2，λ₃=a+1．

（Ⅱ）
若规范形为：

y

2 1

+

y

2 2

，说明有两个特征值为正，一个为0．
则：
（1）若λ₁=a=0，则 λ₂=-2＜0，λ₃=1，不符题意，
（2）若λ₂=0，即a=2，则λ₁=2＞0，λ₃=3＞0，符合，
（3）若λ₃=0，即a=-1，则λ₁=-1＜0，λ₂=-3＜0，不符题意，
综上所述，故a=2．