已知y=f(x)是由y^3+y^2x+x^2y+6=0所确定的隐函数,求f(x)的驻点,并确定其否是极值点

Question

已知y=f(x)是由y^3+y^2x+x^2y+6=0所确定的隐函数,求f(x)的驻点,并确定其
否是极值点

Answer 1

方程两边对x求导：3y'y^2+2yy'x+y^2+2xy+x^2y'=0
得y'=-y(y+2x)/(3y^2+2xy+x^2)
由y'=0,得y=0或y=-2x
当y=0,代入原方程得：6=0,无解,舍去；
当y=-2x,代入原方程：-8x^3+4x^3-2x^3+6=0,得x^3=1,即x=1,故y=-2,
因此(1,-2)为驻点
求此点处的y"
将y'对x再求导; y"=-[(2yy'+2y+2xy')(3y^2+2xy+x^2)-(y^2+2xy)(6yy'+2y+2xy'+2x)]/(3y^2+2xy+x^2)^2
将x=1,y=-2,y'=0代入上式,得y"=-[-4(12-4+1)]/(12-4+1)^2=4/9 >0
因此(1,-2)是极小值点.