如图，已知BD，CE为△ABC的角平分线，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC的距离分别为FG=a，FH=b．FM=c，若c2-c-2ab+12m2-2m+52=0．（1）求a，b，c，m的值；（2）求证：DG=BC−CD4．

Question

如图，已知BD，CE为△ABC的角平分线，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC的距离分别为FG=a，FH=b．FM=c，若c²-c-2ab+(1)/(2)m²-2m+(5)/(2)=0．

（1）求a，b，c，m的值；
（2）求证：DG=(BC−CD)/(4)．

Answer 1

（1）如图，过点E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，过点D作DK⊥BC于K，
∵CE为△ABC的角平分线，
∴EQ=EN，
在△DEQ中，∵F为DE的中点，
∴EQ=2FG=2a，
同理可得DK=2FH=2b，
在四边形ENKD中，EN∥FM∥DK，
∴EN+DK=2FM，
即2a+2b=2c，
∵c²-c-2ab+(1)/(2)m²-2m+(5)/(2)=0，
∴（a+b）²-（a+b）-2ab+(1)/(2)m²-2m+(5)/(2)=0，
即a²+b²-2ab-a-b+(1)/(2)m²-2m+(5)/(2)=0，
整理得，（a-(1)/(2)）²+（b-(1)/(2)）²+(1)/(2)（m-2）²=0，
∴a-(1)/(2)=0，b-(1)/(2)=0，m-2=0，
解得a=(1)/(2)，b=(1)/(2)，m=2，
∴c=a+b=(1)/(2)+(1)/(2)=1，
故，a，b，c，m的值分别为(1)/(2)、(1)/(2)、1、2；
（2）证明：∵a=b=(1)/(2)，
∴EN=DK，
∴ED∥BC，
∴∠CBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
在△EDQ和△EBN中，

BE＝DE

EN＝EQ

，
∴△EDQ≌△EBN（HL），
同理，△EDQ≌△DCK，
∴BN=DQ=CK，
∴BC-CD=BC-DE=BC-NK=2BN=2DQ=4DG，
∴DG=(BC−CD)/(4)．