长为l的弦两端固定,开始时在x=c受到冲量k的作用,试写出相应的定解问题

Question

长为l的弦两端固定,开始时在x=c受到冲量k的作用,试写出相应的定解问题

Answer 1

解 该问题为一维弦振动问题,振动方程 U_tt=a²U_xx.①
由于弦两端固定,所以在这两点处位移为零.即U(0,t)=U(l,t)=0.②
现考虑初始条件,当冲量k作用于x=c处时,就相当于在这点给出了一个初速度,
我们考虑以c点为中心,长为2θ的一小段弦(c-θ,c+θ),设弦是均匀的,其线密度为ρ,
则这一小段弦的质量为2ρθ,受冲击时速度为U_t(x,0)
由动量定理得
2ρθU_t(x,0)=k,x∈(c-θ,c+θ),
在这个小段外,初速度仍为零,我们想得到的是x=c处受到冲击的初速度.
所以最后还要令θ→0.此外,弦是没有初位移的,即U(x,0)=0
于是初始条件为
U(x,0)=0.③
U_t(x,0)=0,|x-c|>θ.④
U_t(x,0)=k/(2ρθ),|x-c|≤θ.⑤
这里定解问题由①②③④⑤构成.