AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB．

Question

AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB．

Answer 1

证明：延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H．
因∠EQF=∠AQB=180°-（∠1+∠2）
=（90°-∠1）+（90°-∠2）
=∠ABF+∠BAE
=∠QFP+∠QEP，
又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK，
故∠EQF+∠K=∠QFP+∠QEP+∠PFK=∠QFK+∠QEK=180°，
从而E、Q、F、K四点共圆．
由PK=PF=PE知，P为△EFK的外心，
显然PQ=PE=PF．
于是∠1+∠AQH=∠1+∠PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90°．
由此知QH⊥AH，
即PQ⊥AB．