x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程a2x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．

Question

x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求证：方程(a)/(2)x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

Answer 1

证明：由于x₁与x₂分别是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有

ax12+bx1+c＝0

−ax22+bx2+c＝0

设f（x）=(a)/(2)x²+bx+c，
则f（x₁）=(a)/(2)x₁²+bx₁+c=-(a)/(2)x₁²，
f（x₂）=(a)/(2)x₂²+bx₂+c=(3a)/(2)x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-(3)/(4)a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程(a)/(2)x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．