如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G．（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是；（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．

Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G．
（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是___；
（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．
①求证：BF=AB+DF；
②若AD= √(2)AB，试探索线段DF与FC的数量关系．

Answer 1

（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形，
理由为：由折叠得：AB=BG，AE=EG，∠EGB=∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABEG为矩形，
∴EG=AB，
∴AB=BG=AE=EG，
则四边形ABEG为正方形；
故答案为：正方形；
（2）①如图2，连结EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，

EG=ED

EF=EF

，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+GF=AB+DF；
②不妨假设AB=DC=a，DF=b，
∴AD=BC=√(2)a，
由①得：BF=AB+DF，
∴BF=a+b，CF=a-b，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF²=BC²+CF²，即（a+b）²=（√(2)a）²+（a-b）²，
整理得：4ab=2a²，
∵a≠0，
∴a=2b，即CD=2DF，
∵CF=CD-DF，
∴CF=DF．