如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角

Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC= √(2)+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为___．

Answer 1

①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=(1)/(2)BC=(1)/(2)√(2)+(1)/(2)；
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=√(2)MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=√(2)BM，
∵BC=√(2)+1，
∴CM+BM=√(2)BM+BM=√(2)+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为(1)/(2)√(2)+(1)/(2)或1，
故答案为：(1)/(2)√(2)+(1)/(2)或1．