已知向量a=(2cosa,2sina)b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)已知向量a=(2cosa,2sina)b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆（x-cosb）^2+(y+sinb)^2=1相切,则向量a,b的夹角为

Question

已知向量 a=(2cosa,2sina) b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆(x-cosb)
已知向量 a=(2cosa,2sina) b=(2cosb,2sinb),且直线2xcosa-2ysina+1=0与圆（x-cosb）^2+(y+sinb)^2=1相切,则向量a,b的夹角为

Answer 1

∵2xcosa－2ysina＋1＝0与圆（x－cosb）^2＋（y＋sinb）^2＝1相切,
∴点（cosb,－sinb）到2xcosa－2ysina＋1＝0的距离为1,
∴｜2cosbcosa＋2sinbsina＋1｜/√［（cosb）^2＋（－sinb）^2］＝1,
∴｜2cos（a－b）＋1｜＝1,∴2cos（a－b）＝0,或2cos（a－b）＝－2,
∴cos（a－b）＝0,或cos（a－b）＝－1..
显然有：
｜向量a｜＝√［（2cosa）^2＋（2sina）^2］＝2√2,
｜向量b｜＝√［（2cosb）^2＋（2sinb）^2］＝2√2,
向量a·向量b＝4cosacosb＋4sinasinb＝4cos（a－b）＝0,或向量a·向量b＝－4.
令向量a、向量b的夹角为A,则：
cosA＝向量a·向量b/（｜向量a｜｜向量b｜）＝0,或cosA＝－4/（2√2）^2＝－1/2.
∴A＝90°,或A＝120°.
∴向量a与向量b的夹角为90°或120°.