高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100

Question

高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本-投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少(1)/(10)（x-100）万件，
∴y=20-(1)/(10)（x-100）=-(1)/(10)x+30，
即y与x之间的函数关系式是y=-(1)/(10)x+30．
（2）由题意得：
z=（30-(1)/(10)x）（x-40）-500-1500=-(1)/(10)x²+34x-3200，
即z与x之间的函数关系是z=-(1)/(10)x²+34x-3200．
（3）∵当x=160时，z=-(1)/(10)×160²+34×160-3200=-320
∴-320=-(1)/(10)x²+34x-3200，
整理，得x²-340x+28800=0，
解得x₁=160，x₂=180．
即同样的年获利，销售单价还可以定为180元，
当x=160时，y=-(1)/(10)×160+30=14；
当x=180时，y=-(1)/(10)×180+30=12．
即相应的年销售量分别为14万件和12万件．
（4）∵z=-(1)/(10)x²+34x-3200=-(1)/(10)（x-170）²-310．
∴当x=170时，z取最大值，为-310，
即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．
第二年的销售单价定为x元时，年获利为：
z=（30-(1)/(10)x）（x-40）-310=-(1)/(10)x²+34x-1510．
当z=1130时，即1130=-(1)/(10)x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函数z=-(1)/(10)x²+34x-1510的图象大致如图所示，

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．