已知正整数a,b满足a*b=2^2012,且方程x^2+ax+b=0有实根,求这样的正整数数组(a,b)的个数

Question

已知正整数a,b满足a*b=2^2012,且方程x^2+ax+b=0有实根,求这样的正整数数组(a,b)的个数

Answer 1

方程x^2+ax+b=0有实根,必须满足a^2-4b≥0, a^2≥4b, a^3≥4ab=4*2^2012=2^2014
a≥(2^2014)^(1/3)=(2^671)*2^(1/3), a为正整数,a最小可取a=2^672, 因为a*b=2^2012, 所以a的取值范围从2^672至2^2012, 共有2012-672+1=1341个数, 相应的b取值从2^1340至1,共1341个,即满足条件的正整数(a,b)共1341个.