某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关

Question

某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．

（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

（1）由题可知30=θ（10+x）+2（10-x），所以θ=(10+2x)/(10+x)，x∈（0，10）…5
（2）花坛的面积为(1)/(2)θ（10²-x²）=（5+x）（10-x）=-x²+5x+50（0<x<10），
装饰总费用为9θ（10+x）+8（10-x）=170+10x，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为y=(-x2+5x+50)/(170+10x)=-(x2-5x-50)/(10(17+x))．…7
令t=17+x，t∈（17，27）则y=(39)/(10)-(1)/(10)（t+(324)/(t)）≤(39)/(10)-(1)/(10)2√(324)=(3)/(10)，…（10分）
当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=(12)/(11)．
（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）
故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大．…12