质量分别为m和m'的两个粒子开始静止,且彼此相距无限远,在某一时刻,当它们相距为d时,此刻彼此接近的相对速率为多少?

Question

质量分别为m和m'的两个粒子开始静止,且彼此相距无限远,在某一时刻,当它们相距为d时,此刻彼此接近的相对速率为多少?

Answer 1

无穷远处势能为0,距离d时,势能为 -Gmm'/d,万有引力做功为Gmm'/d,等于动能变化
Gmm'/d=mv^2/2+m'v'^2/2
由动量守恒：mv=m'v'
解得v=m' sqrt[2G/d(m+m')]
v'=m sqrt[2G/d(m'+m)]
所以v+v'=sqrt[2G(m+m')/d]