已知双曲线Cx2/4—y2/3=1,过M(0,1)的直线l与C交于A,B,若向量AM=2MB,求l的斜率

Question

已知双曲线Cx2/4—y2/3=1,过M(0,1)的直线l与C交于A,B,若向量AM=2MB,求l的斜率

Answer 1

答：
A、B、M(0,1)三点共线y=kx+1,向量AM=2MB
则|AM|=2|MB|
所以：AM^2=4MB^2
即有：(x1-0)^2+(y1-1)^2=4(x2-0)^2+4(y2-1)^2
所以：x1^2+(kx1)^2=4(x2)^2+4(kx2)^2
所以：(1+k^2)(x1)^2=4(1+k^2)(x2)^2
所以：(x1)^2=4(x2)^2
因为：A(x1,y1)和B(x2,y2)在点M的两侧
所以：x1和x2异号,x1=-2x2>0
直线与双曲线方程联立得：
x^2/4-(kx+1)^2/3=1
所以：
3x^2-4(k^2x^2+2kx+1)=12
(3-4k^2)x^2-8kx-16=0
x=[-b±√(b^2-4ac)/(2a)
因为：x1=-2x2>0
所以：-b+√(b^2-4ac)=-2*[-b-√(b^2-4ac)]
整理得：√(b^2-4ac)=-3b
所以：2b^2=-ac
所以：2*(-8k)^2=(4k^2-3)*(-16)
整理得：8k^2=3-4k^2
所以：k^2=1/4
解得：k=1/2或者k=-1/2
所以：直线的斜率k=1/2或者k=-1/2