从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0>2）向圆（x-1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．

Question

从抛物线y²=2x上的点A（x₀，y₀）（x₀>2）向圆（x-1）²+y²=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是___．

Answer 1

设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x₀，y₀），其中x₀>2，
所以直线AB的方程，化简得（y₀-y_B）x-x₀y+x₀y_B=0
直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x₀-2）y_B²+2y₀y_B-x₀=0
同理可得：（x₀-2）y_A²+2y₀y_A-x₀=0，
故y_C，y_B是方程（x₀-2）y²+2y₀y-x₀=0的两个不同的实根，
所以y_C+y_B=(2y0)/(2-x0)，y_Cy_B=(x0)/(2-x0)，
所以S=(1)/(2)|y_C-y_B|x₀=(x02)/(x0-2)=（x₀-2）+(4)/(x0-2)+4≥8，
所以当且仅当x₀=4时，S取到最小值8，
所以△ABC的面积的最小值为8．
故答案为：8．