如图，正方形ABCD中，（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求GFFH；（2）E的位置改动为边BC上一点，且BEEC=k，其他条件不变，求GFFH的值．

Question

如图，正方形ABCD中，

（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求(GF)/(FH)；
（2）E的位置改动为边BC上一点，且(BE)/(EC)=k，其他条件不变，求(GF)/(FH)的值．

Answer 1

（1）如图1，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴(AE)/(EK)=(BE)/(CE)；
∵E为边BC的中点，
∴BE=CE，AE=EK；
∵GH平分AE，
∴EK=AE=2AF，FK=3AF；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴(GF)/(FH)=(AF)/(FK)=(1)/(3)．
（2）如图2，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴(AE)/(EK)=(BE)/(CE)；
∵(BE)/(EC)=k，
∴AE=kEK；
∵GH平分AE，
∴AF=EF=(1)/(2)AE=(1)/(2)kEK，FK=(k+2)/(2)EK；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴(FG)/(FH)=(AF)/(FK)=(k)/(k+2)．