如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当k=3时，|AB|=15．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB

Question

如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当k=√(3)时，|AB|=√(15)．

（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心C（0，b），b>0，则半径r=b，…（2分）
则圆心C（0，b）到y=√(3)x+3的距离d=(|3-b|)/(2)
∴((|3-b|)/(2))2+((√(15))/(2))2=b2…（5分）
得∴b=2或b=-4（舍）
∴圆C的方程为∴x²+（y-2）²=4…（7分）
（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组

y=kx+3

x2+(y-2)2=4

得（1+k²）x²+2kx-3=0
则

x1+x2=-(2k)/(1+k2)

x1x2=-(3)/(1+k2)

…（10分）
由k_AT+k_BT=0
即(y1-t)/(x1)+(y2-t)/(x2)=0…（12分）
∴2kx₁x₂+（3-t）（x₁+x₂）=0，
∴6k+2k（3-t）=0对k取任意实数时都成立，∴t-3=3即t=6
故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…（15分）