降温问题（微积分）一杯沸水,放在室温下,问过多长时间到达体温.已知温度为T(开氏温标)的水在温度为T'的环境下降温速率为k(T-T')（单位：摄氏/分）,设沸水温度T0,体温T1,室温T2,T0>T1>T2

Question

降温问题（微积分）
一杯沸水,放在室温下,问过多长时间到达体温.已知温度为T(开氏温标)的水在温度为T'的环境下降温速率为k(T-T')（单位：摄氏/分）,设沸水温度T0,体温T1,室温T2,T0>T1>T2

Answer 1

由于题目中环境温度T'和求导符号容易混淆误解,直接用T2表示环境温度,
而用T'表示温度T对时间t的变化率,即 T'＝dT/dt.
于是有：
T' ＝ －k(T－T2) （说明：按题意此处将k理解为正的系数)
===> T' / (T－T2) ＝ －k
===> [ ln(T－T2) ] '＝ －k
===> ln(T－T2) ＝ －kt + C
===> T ＝ T2 + D e^(-kt) （D为任意常数）
由初始条件 t＝0时,T＝T0,解得 D＝(T0－T2)
因此水温T随时间t的变化方程为：
T＝T2 + (T0－T2) e^(-kt)
将T＝T1代入方程可解得：
t＝1/k * ln[ (T0－T2)/(T1－T2)]