已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）两点，该抛物线与x轴的另一交点为C．（1）求这个抛物线的解析式和点C的坐标；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点D，其横坐

Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）两点，该抛物线与x轴的另一交点为C．

（1）求这个抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点D，其横坐标为m，设由A、B、C、D组成的四边形的面积为S．试求S与m的函数关系式，并说明m为何值时，S最大；
（3）P是线段OC上的一动点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（1，0），B （0，5）两点，
∴

−1+b+c＝0

c＝5

，
解得

b＝−4

c＝5

，
∴抛物线解析式为y=-x²-4x+5，
令y=0，则-x²-4x+5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）；

（2）①如图1，点D在y轴左边时，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点D的横坐标为m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=-m，CE=m-（-5）=m+5，
∴S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，
=(1)/(2)CE•DE+(1)/(2)（DE+OB）•OE+(1)/(2)AO•BO，
=(1)/(2)（m+5）×（-m²-4m+5）+(1)/(2)（-m²-4m+5+5）×（-m）+(1)/(2)×1×5，
=(1)/(2)×5（-m²-4m+5）-(1)/(2)×5m+(1)/(2)×5，
=-(5)/(2)（m²+5m）+15，
=-(5)/(2)（m²+5m+(25)/(4)）+(5)/(2)×(25)/(4)+15，
=-(5)/(2)（m+(5)/(2)）²+(245)/(8)，
即S=-(5)/(2)（m+(5)/(2)）²+(245)/(8)（-5＜m＜0），
所以，当m=-(5)/(2)时，S有最大值，最大值为(245)/(8)；
②如图2，点D在y轴右边时，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点D的横坐标为m，
∴DE=-m²-4m+5，OE=m，AE=1-m，
S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，
=(1)/(2)OC•OB+(1)/(2)（DE+OB）•OE+(1)/(2)AE•DE，
=(1)/(2)×5×5+(1)/(2)（-m²-4m+5+5）×m+(1)/(2)（1-m）×（-m²-4m+5），
=(1)/(2)×25+(1)/(2)×5m+(1)/(2)（-m²-4m+5），
=-(1)/(2)（m²-m）+15，
=-(1)/(2)（m²-m+(1)/(4)）+(1)/(8)+15，
=-(1)/(2)（m-(1)/(2)）²+(121)/(8)，
即S=-

作业帮用户 2017-10-30

为您推荐：

其他类似问题

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线y=6/x的一个交点是（1，m），且OA=OC．求抛物线的解析式． 2017-10-04

抛物线y=x 2+bx+c(b≤0)的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-2,0);直线x=1与抛物线交于点E,与x轴交于点F,且45°≤∠FAE≤60°. 2017-10-16

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则： （1）abc_0（填“＞”或“＜”）； （2）a的取 2016-12-05

如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 2016-11-28

如图，已知抛物线y＝1/2x2+bx+c与x轴交于A （-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面 2016-12-03

问题解析

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）①分点D在y轴左边时，过点D作DE⊥x轴于点E，再用m表示出DE、CE、OE的长度，然后根据S=S_△CDE+S_梯形BDOE+S_△AOB，利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可；②点D在y轴右边时，过点D作DE⊥x轴于点E，再用m表示出DE、OE、AE的长度，然后根据S=S_△BOC+S_梯形BOED+S_△ADE，利用三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理即可，根据x的取值范围结合二次函数的最值问题分别求出S的最大值，然后即可得解；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，设PH与BC相交于点F，点P的坐标为（x，0）然后表示出PF、HF的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，分HF：PF=2：3，PF：HF=2：3两种情况分别列式进行计算即可得解．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，求不规则图形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比的性质，分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，且运算量非常大，需仔细分析并认真计算．

广告

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议