如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图象分别交x轴,y轴于A,B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M,且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△A

Question

如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图象分别交x轴,y轴于A,B两点过点A的直线交y轴正
半轴与点M,且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB,请直接写出点P的坐标．
（3）若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A,B,M,H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点H的坐标；若不存在,请说明理由．(用两种方法

Answer 1

如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图象分别交x轴,y轴于A,B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M,且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式．（2）试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB,请直接写出点P的坐标．（3）若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A,B,M,H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点H的坐标；若不存在,请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）通过函数y=2x+12求出A、M两点坐标,由两点坐标求出直线AM的函数解析式；
（2）设出P点坐标,按照等量关系“ 12×|AP|×B到直线AM的距离=S△AOB”即可求出；
（3）判断能否构成等腰梯形,主要看两腰能否等腰,本题应分别把AB、AM、BM看作底来判断．（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12,
∴A（-6,0）,B（0,12）．
又∵M为线段OB的中点,
∴M（0,6）．
∴直线AM的解析式y=x+6；
（2）设P点坐标（x,x+6）,则|AP|= 2|x+6|,B到直线AM的距离d= |0-12+6|12+12=32,
∴ 12×2|x+6|×32=12×6×12,
解得：x=6或-18．
∴P（6,12）或P（-18,-12）；
（3）存在这样的点H,使以A,B,M,H为顶点的四边形是等腰梯形．
若以AM为底,BM为腰,过点B作AM的平行线,当点H的坐标为（-12,0）时,以A,B,M,H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以BM为底,AM为腰,过点A作BM的平行线,当点H的坐标为（-6,18）时,以A,B,M,H为顶点的四边形是等腰梯形；
故所求点H的坐标为（-12,0）或（-6,18）