已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足（an+1-an）g（an）+f（an）=0，a1=2，bn＝910(n+2)(an−1)（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}中最大项．

Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，a₁=2，bn＝(9)/(10)(n+2)(an−1)
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}中最大项．

Answer 1

（I）由方程（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
显然由a₁=2，知{a_n}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0，整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，则{a_n-1}就是首项为1，公比为(9)/(10)的等比数列．
所以a_n-1=((9)/(10))n−1，an＝((9)/(10))n−1+1；
（Ⅱ）将a_n-1=（(9)/(10)）^n-1代入bn=(9)/(10)（n+2）（an-1），得b_n=（(9)/(10)）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（(9)/(10)）ⁿ⁺¹×（n+3）-（(9)/(10)）ⁿ×（n+2）=（(9)/(10)）ⁿ×(7−n)/(10)．
∴{b_n}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时b_n取最大值，最大值为9×（(9)/(10)）⁷．