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五分之一X的五次方+三分之一X的三次方+十五分之七X的值为什么是整数
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五分之一X的五次方+三分之一X的三次方+十五分之七X的值为什么是整数
▼优质解答
答案和解析
要证明x^5/5+x^3/3+7x/15是整数
通分,等价于3x^5+5x^3+7x能被15整除.
由于15=3*5 3和5互质,只需证3和5能整除3x^5+5x^3+7x
由于3x^5+5x^3+7x=5(x^3-x)+12x+3x^5
注意到费尔马小定理有3整除x^3-x,所以3能整除3x^5+5x^3+7x
再由于3x^5+5x^3+7x=5x^3+3(x^5-x)+10x
仍然由费尔马小定理知5能整除x^5-x
所以易见5能整除3x^5+5x^3+7x
证毕
通分,等价于3x^5+5x^3+7x能被15整除.
由于15=3*5 3和5互质,只需证3和5能整除3x^5+5x^3+7x
由于3x^5+5x^3+7x=5(x^3-x)+12x+3x^5
注意到费尔马小定理有3整除x^3-x,所以3能整除3x^5+5x^3+7x
再由于3x^5+5x^3+7x=5x^3+3(x^5-x)+10x
仍然由费尔马小定理知5能整除x^5-x
所以易见5能整除3x^5+5x^3+7x
证毕
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