题目是这样的：设P=x^3－x^2－20x和Q=x^3＋3x^2－24x－80.求P和Q的最小公倍式.P我已经求出来是x(x－5)(x＋4),但我不会算Q.p.s有个学霸朋友叫我说可以不用猜Q的因式,直接把P变成Q,在Q的后面加4x^2－4x

Question

题目是这样的：设P=x^3－x^2－20x和Q=x^3＋3x^2－24x－80.求P和Q的最小公倍式.
P我已经求出来是x(x－5)(x＋4),但我不会算Q.
p.s有个学霸朋友叫我说可以不用猜Q的因式,直接把P变成Q,在Q的后面加4x^2－4x－80,可我还是没懂,如果可以的话希望可以为学霸教我的方法详细解释一下,因为学霸说用他的方法会快很多.

Answer 1

估计你那个学霸的意思是把Q重新构造一下,使Q中含有P,更容易分解.
Q=x^3 + (4x^2 - x^2) - (20x + 4x) - 80
=x^3 + 4x^2 - x^2 - 20x - 4x - 80
=x^3 - x^2 - 20x + 4x^2 - 4x - 80
=P + (4x^2 - 4x - 80)
=P + 4(x^2 - x - 20)
代入你所分解的P则有：
Q=x(x-5)(x+4) + 4(x-5)(x+4)
提取公因式(x-5)(x+4)后,得到：
Q=(x-5)(x+4)(x+4)
所以,P、Q的最小公倍数是(x-5)(x+4)