如图，已知A（1，0），B（0，2），C1为AB的中点，O为坐标原点，过C1作C1D1⊥OA于D1点，连接BD1交OC1于C2点，过C2作C2D2⊥OA于D2点，连接BD2交OC1于C3点，过C3作C3D3⊥OA于D3点，如此继续，依次得到D1

Question

如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：Sn＜(3)/(4)．

Answer 1

解（1）∵C₁为AB中点，∴C₁（(1)/(2)，1），D₁（(1)/(2)，0），a1＝(1)/(2)，
直线BD₁的方程：(x)/((1)/(2))+(y)/(2)＝1，直线OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的横坐标为a2＝(1)/(3)（2分）

（2）设D_n（a_n，0），直线BD_n的方程为(x)/(an)+(y)/(2)＝1，联立OC₁：y=2x，
可解得x＝an+1＝(an)/(an+1)，∴(1)/(an+1)＝(1)/(an)+1（5分）
∴数列{(1)/(an)}是首项为2公差为1的等差数列，∴(1)/(an)＝n+1，∴an＝(1)/(n+1)（8分）

（3）b1＝S△OC1D1＝(1)/(4)∵△OC_nD_n～△OC₁D₁
∴(S△OCnDn)/(S△OC1D1)＝(bn)/(b1)＝((ODn)/(OD1))2＝((an)/(a1))2＝4a