如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=1

Question

如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A₁、B₁、C₁、D₁，使AA₁=BB₁=CC₁=DD₁= (1)/(3)a，在边A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁上分别取点A₂、B₂、C₂、D₂，使A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂=D₁D₂= (1)/(3)A₁B₂，…．依次规律继续下去，则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为___．

Answer 1

在Rt△A₁BB₁中，由勾股定理可知；A1B12=A1B2+B1B2=((2)/(3)a)2+((1)/(3)a)2=(5)/(9)a2，即正方形A₁B₁C₁D₁的面积=(5)/(9)a2；
在Rt△A₂B₁B₂中，由勾股定理可知：A2B22=A2B12+B2B12=((2)/(3)×(√(5))/(3)a)2+((1)/(3)×(√(5))/(3)a)2=((5)/(9))2a2；即正方形A₂B₂C₂D₂的面积=((5)/(9))2a2
…
∴正方形A_nB_nC_nD_n的面积=((5)/(9))na2=(5n)/(9n)a2．
故答案为：(5n)/(9n)a2．