已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是1λ．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．①若M是圆E：（x

Question

已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是(1)/(√(λ))．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．
①若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围；
②已知F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由√(λ)|PO|＝|PA|，得λ（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：（λ-1）x²+（λ-1）y²+6x-9=0．
∵λ＞0，∴当λ=1时，则方程可化为：2x-3=0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为(x+(3)/(λ−1))2+y2＝[(3√(λ))/((λ−1))]2，即方程表示的曲线是以(−(3)/(λ−1)，0)为圆心，(3√(λ))/(|λ−1|)为半径的圆．…5分
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x²+y²+2x-3=0，故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
①由|DE|＝√((2+1)2+(4−0)2)＝5，及5＜8-2有：两圆内含，且圆D在圆E内部．
如图所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²有：|MN|²=|MD|²-4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．
而D是定点，M是圆上的动点，故过D作圆E的直径，得|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，故5≤|MN|²≤165，√(5)≤|MN|≤√(165)．…9分
②解法一：设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即